数学 : 部分積分

部分積分は以下のような式で表される

$ \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx

$ \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx

式の導出

$ \{ f(x)g(x) \} ' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

両辺をxで積分して、

$ f(x)g(x) = \int f'(x)g(x) dx + \int f(x)g'(x) dx

式を整理すると以下のようになり、部分積分の式を得る。

$ \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx

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